In questo articolo parleremo dello smorzamento delle strutture e dei valori che possiamo assumere nei nostri calcoli. Come al solito, si cercherà di essere sintetici e chiari, per quanto possibile.

Iniziamo a dire cos’è lo smorzamento; le strutture possono essere studiate con riferimento a SDoF (Single Degree of Freedom) e MDoF (Multi Degree of Freedom), ovvero sistemi ad uno o più gradi di libertà.

L’oscillatore semplice è un SDoF ed è schematizzabile come un pendolo di massa M e rigidezza K. Una grandezza fondamentale per questo sistema è il periodo T, espresso in secondi, che rappresenta il tempo necessario ad effettuare un’oscillazione completa.

Il periodo è una grandezza intimamente legata alla massa ed alla rigidezza; in particolare, se aumentiamo la massa abbiamo oscillazioni più lente, mentre se aumentiamo la rigidezza le oscillazioni saranno più rapide. Questo significa che il periodo è direttamente proporzionale a M ed inversamente proporzionale a K:

Il periodo è quindi indicativo della deformabilità dinamica di una struttura. Tramite infinite combinazioni di massa e rigidezza possiamo rappresentare ogni tipo di oscillatore semplice.

Grazie al periodo, quindi, possiamo entrare negli spettri di risposta e leggere le grandezze che ci interessano per la nostra struttura.

Facciamo un passo indietro adesso, perché le oscillazioni di un SDoF possono essere smorzate o non smorzate. Nel primo caso si hanno oscillazioni armoniche che proseguono nel tempo mantenendo invariato il periodo e gli spostamenti.

Ma questo comportamento non riflette la realtà strutturale, nella quale le oscillazioni sono smorzate, quindi vedono spostamenti decrescenti nel tempo. Altro particolare importante: il periodo delle oscillazioni smorzate è maggiore rispetto alle corrispettive non smorzate.

Lo smorzamento è dovuto alle dissipazioni di energia, le quali dipendono a loro volta da vari aspetti; sinteticamente possiamo dire:

1. dissipazioni viscose dovute all’attrito (resistenza) del mezzo; sono proporzionali alla velocità;
2. attriti interni del materiale;
3. microplasticizzazioni, ovvero plasticizzazioni in alcuni punti del materiale.

Sostanzialmente, dunque, abbiamo tre aliquote di cui quelle viscose sono quelle che incidono di meno. Per semplicità, però, si inglobano le varie aliquote nel primo termine, nonostante sia quello meno forte.

Parliamo allora genericamente di dissipazioni viscose del sistema.

L’equazione differenziale diventa adesso:

Dividendo il tutto per la massa:

E poniamo:

Dove:

In definitiva:

Che è l’equazione differenziale delle oscillazioni libere smorzate che cercavamo.

La soluzione di questa equazione è:

A questo punto possiamo indagare sugli effetti dello smorzamento viscoso sull’oscillatore, cercando di capire come vengono influenzati i parametri di deformabilità dinamica. Il periodo dell’oscillatore semplice smorzato è legato al periodo dell’oscillatore semplice non smorzato dalla relazione:

Vediamo cosa accade per smorzamenti nulli:

Ovvero con smorzamento nullo ritroviamo lo stesso periodo dell’oscillatore non smorzato, che è esattamente quanto ci aspettavamo.

Vediamo cosa succede per smorzamento unitario:

Il periodo diventa infinito, quindi il sistema impiega tempi infiniti per completare un’oscillazione, risulta essere infinitamente frenato. Questo smorzamento prende il nome di critico. I valori dello smorzamento delle strutture sono espressi in percentuali rispetto al critico.

Per edifici in cemento armato il valore che si assume è pari al 5%. Vediamo allora cosa succede con questo valore reale ed un periodo unitario:

Praticamente le caratteristiche dinamiche dell’oscillatore non sono cambiate, considerati i trascurabili effetti dello smorzamento.

Ma lo smorzamento è importante per altri aspetti, ovvero perché va ad incidere sul fenomeno della risonanza. Senza addentrarci troppo nell’argomento – che richiede di studiare l’equazione differenziale applicando una forzante armonica – possiamo limitarci a dire che quando la frequenza della forzante eguaglia la frequenza propria del sistema allora si ha una forte amplificazione degli effetti, al punto che con smorzamento nullo si ha amplificazione infinita. Bastano valori minimi di ξ per smorzare di molto il fenomeno. Ecco perché lo smorzamento è fondamentale per le strutture, anche per valori molto bassi come 0.05.

Veniamo adesso alcuni valori dello smorzamento per tipologie strutturali e livello di sforzo. L’immagine che segue è tratta dal testo “Dynamics Of Structures” di Anil K. Chopra, di cui consiglio caldamente l’acquisto:

Ovvero, per livello di sforzo di non più di metà dello snervamento:

1. acciaio saldato, cemento armato precompresso, cemento armato ben rinforzato con modeste fessurazioni → 2-3%
2. cemento armato con notevole fessurazione → 3-5%
3. acciaio bullonato o rivettato, strutture lignee con giunti bullonati → 5-7%

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Per livello di sforzo giusto sotto lo snervamento o allo snervamento:

1. acciaio saldato, cemento armato precompresso (senza perdita completa della presollecitazione) → 5-7%
2. cemento armato precompresso con nessuna presollecitazione residua → 7-10%
3. cemento armato → 7-10%
4. acciaio bullonato o rivettato, strutture lignee con giunti bullonati → 10-15%

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L’Autore afferma che questi valori dello smorzamento relativo al critico possono essere usati direttamente per le analisi linearmente elastiche delle strutture.

Ad ogni modo, si è soliti usare un valore del 5% per edifici in cemento armato e 2% per edifici in acciaio.

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Francesco Salvatore Onorio

ofs@hotmail.it