L’articolo che segue è frutto della collaborazione tra L’angolo dell’ingegnere strutturista e l’esperto di geologia e geotecnica Romolo di Francesco. Il tema è particolarmente importante per determinati settori dell’ingegneria strutturale, come quello della progettazione di impianti industriali.

1. METODOLOGIA DI ANALISI

L’azione delle macchine vibranti sul terreno attraverso le fondazioni si traduce sempre nella trasmissione di sollecitazioni cicliche e/o dinamiche, dipendenti da moti alternativi o rotanti, alle quali corrispondono forze di inerzia che non possono più essere trascurate rispetto alle condizioni statiche. In ogni caso, qualunque sia la sollecitazione trasmessa, il problema si riduce pur sempre nella determinazione dello spostamento ammissibile, comune ai problemi statici e dinamici, il quale, in quest’ultimo caso, è essenziale per il calcolo dei valori di picco della velocità e dell’accelerazione.

Figura 1. Sistema massa + molla ad un grado libertà, nel quale la forza di richiamo è F = – k x d, essendo k la costante elastica della molla e d lo spostamento dalla condizione di riposo (estratta da: Lesioni degli edifici – Ulrico Hoepli Editore spa, Milano, 2008).

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Riducendo l’analisi ad un sistema verticale ad un solo grado di libertà (Figura 1), ossia al classico sistema massa + molla, i parametri da determinare sono allora:

1)  s_D: spostamento verticale dinamico;

2)  v_p: velocità di picco delle vibrazioni trasmesse = f’(s_D)

3)  a_p: accelerazione di picco delle vibrazioni trasmesse = f’’(s_D)

essendo le velocità e le accelerazioni di picco funzione dello spostamento dinamico attraverso le derivate prime e seconde.

Ovviamente per i parametri di particolare interesse esistono delle condizioni limite da rispettare, che possono essere posti pari a v_D,max = 25/2.5 mm/sec tale che il valore superiore corrisponde ad un limite di danneggiamento delle macchine e/o delle fondazioni mentre quello inferiore ad un limite delle vibrazioni sopportabili dagli operatori alle macchine.

Ordunque, limitando l’analisi al sistema ad un solo grado di libertà (al quale corrisponde un solo modo di vibrazione dello stesso nella direzione verticale), la forzante vibrazionale può essere simulata attraverso la propagazione di un’onda monocromatica del tipo rappresentata nella Figura 1, caratterizzata da un periodo ed una frequenza fondamentale legati dalle seguenti relazioni:

In questo modo, posto δ₀ il massimo spostamento e considerata nulla la fase iniziale del moto (alla quale corrisponde un valore iniziale nullo dell’onda monocromatica), si ha:

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nella quale t è il tempo mentre 2πf rappresenta la frequenza angolare:

Importante notare, a questo punto, che la frequenza e il periodo delle oscillazioni delle fondazioni di macchine vibranti corrispondono a quelle della forza eccitatrice (F₀), ossia dei carichi ciclici e/o dinamici, che devono essere determinati al fine di individuare il modo più appropriato per determinare lo spostamento dinamico del sistema.

A questo punto, posta la frequenza angolare funzione della costante elastica della molla, corrispondente ora alla costante elastica del terreno:

è possibile determinare le frequenze del sistema in analisi inserendo l’equazione (4) nella (3):

avendo posto:

–      M_M+F la massa del sistema macchina + fondazione;

–      F₀ la forza eccitatrice trasmessa dalla macchina vibrante;

–      f_e la frequenza eccitatrice;

–      f_n la frequenza naturale del terreno.

In definitiva, noti gli ultimi due parametri ed indicato con Q_D il valore di progetto dell’azione eccitatrice, si ottiene dapprima:

e successivamente, ricordando l’equazione (3):

Non resta che determinare il valore di progetto di Q_D:

il quale, nel caso comune di fondazioni rettangolari, richiede la preliminare determinazione del raggio equivalente (R_e) e della massa equivalente (M_e):

essendo γ_t la massa del terreno.

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2. ESEMPIO PRATICO

L’installazione di una trancia in un’industria per la produzione di carpenterie metalliche richiede la verifica dinamica della relativa fondazione.

Siano allora:

–      B₁ x L₁ = 2.40 m x 6.90 m =>          dimensioni in pianta della trancia

–      B₂ x L₂ = 3.40 m x 7.90 m x 0.50 m =>          dimensioni della fondazione in c.a.

–      F₀ = 1668 kN =>          forza eccitatrice della trancia

–      M_M = 549 kN =>          massa della trancia

–      M_F = (3.40 x 7.90 x 0.50) x 25 kN ≈ 336 kN =>          massa della fondazione

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con B₁, L₁, F₀ ed M_T forniti direttamente dal produttore della macchina vibrante.

Per la caratterizzazione dinamica del sottosuolo è stata eseguita una prospezione sismica del tipo a rifrazione energizzata in onde P ed S_H; in questo modo, considerato che il sottosuolo è costituito da limi di elevato spessore tale da poter essere assimilato ad un semispazio, si perviene alle velocità del mezzo rispetto alle due tipologie di onde:

–      V_P = 700 m/s;

–      V_SH = 350 m/s;

Nel contempo, il prelievo di un campione da una trincea esplorativa ha consentito di definire anche il peso di volume dei limi: γ_t = 18 kN/m³.

Il primo elemento da determinare è allora rappresentato dalla costante elastica del sottosuolo k, la quale può essere derivata dalla relazione:

nella quale compaiono il modulo elastico tangenziale (G_D), il coefficiente di Poisson dinamico (ν_D) ed una costante D che per movimenti traslatori può essere posto pari a 2.35.

Per la definizione di G_D e di n_D possono essere utilizzate le relazioni:

ottenendo nν_D = 0.33, G_D = 2.205.000 kPa ed infine, utilizzando l’equazione (10), k = 40.082.486 kPa.

Il passo successivo consiste nel calcolo della frequenza eccitatrice (equazione 5a) e della frequenza fondamentale del terreno (equazione 5b), nelle quali inserire i valori di progetto F₀ = 1668 kN ed M_M+F = 549 + 336 = 885 kN.

In questo modo si ottiene:

–      f_e = 24.7 Kz

–      f_n = 33.9 Hz

–      w = 2πf_e = 155.12 rad

tale che, valendo f_e << f_n, può essere applicata l’equazione (6a).

L’utilizzo della (6a) richiede la determinazione in serie:

–      del raggio equivalente (equazione 9a);

–      della massa equivalente (equazione 9b);

–      del valore di progetto dell’azione eccitatrice (equazione 8).

Quindi, essendo M = M_M+F = 885 kN, B = B₂ = 3.40 m ed L = L₂ = 7.90 m, si ottiene:

–      R_e = 2.92;

–      M_e = 1.97;

–      Q_D = 5029.41.

Non resta che completare l’analisi con la determinazione dello spostamento dinamico (equazione 6a), della velocità di picco (equazione 7°) e dell’accelerazione di picco (equazione 7b), che conducono ai seguenti risultati:

–      s_D = 0.13 mm;

–      v_p = 20.17 mm/s;

–      a_p = 3128.09 mm/s² (0.31g).

Concludendo, poiché il valore dello spostamento dinamico è sotto soglia di danneggiamento strutturale e di fastidio umano, si ritiene la fondazione della trancia compatibile con gli standard progettuali; nel contempo si consiglia di isolare il contatto macchina – fondazione mediante neoprene così come il contatto laterale qualora la macchina dovesse essere collocata nei pressi di elementi strutturali del capannone industriale.

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–3. APPENDICE

La forza di richiamo di una molla è data da:

Dalla definizione di forza si ha:

che introdotta nella (A) la trasforma nell’equazione differenziale che governa il sistema massa + molla:

essendo δ lo spostamento (rif. Figura 1).

Dividendo tutti i membri per la massa si ha:

avendo sostituito il corrispondente valore dedotto dall’equazione (4).

La soluzione generale dell’equazione (D.2) è:

nella quale compare la fase q che nel caso della Figura 1 è nulla conducendo alla seguente forma:

corrispondente all’equazione (2).

Operando la doppia differenziazione si ottiene allora la velocità e l’accelerazione del sistema:

Sostituendo infine le relazioni (E.2) ed (F.2) nei corrispondenti valori presenti nell’equazione (D.2) si ottiene l’eguaglianza che dimostra la validità della soluzione.

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Si ringrazia l’autore Romolo di Francesco per aver realizzato appositamente per L’angolo dell’ingegnere strutturista l’articolo in questione; potete fargli visita a:

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Ing. Onorio Francesco Salvatore