L’idea di scrivere questo articolo è nata dopo uno scambio di corrispondenza con un progettista di strutture offshore: l’ing. Bertolli (che mi permetto di citare e che ringrazio per i complimenti fatti al sito). Dalla discussione è emerso che un aspetto interessante riguardante la progettazione di tali strutture sia il calcolo delle sollecitazioni derivanti dal moto ondoso. Questo articolo è il primo di una serie che toccherà i seguenti argomenti:

1. introduzione al problema e teoria di base;
2. teoria lineare delle onde (Teoria di Airy);
3. teorie non lineari (Trocoidale, Cnoidale, di Stokes, Solitaria, Numerica);
4. domini di validità per le teorie delle onde;
5. azione delle onde sulle strutture;
6. esempi pratici e foglio Excel di calcolo.

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Con riferimento al tempo, vi sono due tipi di fenomeni ondosi:

1. a breve termine;
2. a lungo termine.

Le prime, brevi ma molto intense, hanno una scala di riferimento di minuti o anche solo secondi; possono verificarsi in situazioni eccezionali e causare danni a causa dell’amplificazione dinamica.

Quelle a lungo termine, misurate in termini di ore, giorni o addirittura anni, sono importanti in quanto la struttura offshore cede per fatica dopo mesi o anni di servizio.

L’ingegnere strutturista ha ben chiaro il problema, dato che la suddivisione delle azioni in breve durata e lunga durata è un qualcosa di abbastanza comune nel settore civile.

In questo articolo ci si sofferma sulle onde di breve durata.

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Il riferimento principale per studiare il problema è ovviamente la Teoria delle Onde, sulla quale è opportuno aprire una parentesi. Con riferimento all’immagine che segue:

si ha che all’istante t=0 l’ordinata spettrale vale:

dove A è l’ampiezza massima, k è il numero d’onda e x è il valore dell’ascissa. Il numero d’onda è collegato all’ampiezza d’onda mediante la relazione:

La generica espressione per l’ordinata spettrale in un’onda sinusoidale continua che si muove a velocità c nella direzione positiva è:

A questo punto, immaginiamo di porci a x = 0 e consideriamo la variazione dell’ordinata spettrale: avremo che n varierà dal suo valore massimo (positivo in z) al suo valore minimo (negativo in z). Durante questo percorso n passerà per l’origine, assumendo valore pari a zero.

Avremo semplicemente:

La situazione descritta è la seguente:

Il significato di kct è il seguente:

dove T è quel particolare valore di t in corrispondenza del quale il coseno di kct diviene unitario, restituendo così l’onda successiva alla prima avuta all’istante t=0. La quantità T, come noto, prende il nome di periodo.

Il periodo è collegato alla frequenza angolare mediante la relazione:

Dalle relazioni precedenti si ricava:

che consente di pervenire alla relazione:

A questo punto consideriamo due onda simili, aventi identica forma e che passano allo stesso posto ma in istanti diversi; per la prima onda si ha:

per la seconda si ha:

dove con epsilon si è indicato lo spostamento di fase.

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A questo punto occorre introdurre la teoria lineare delle onde, nota anche come Teoria di Airy, teoria di Stokes al primo ordine, teoria delle onde di piccola ampiezza o più genericamente teoria del primo ordine.

Immaginiamo una semplice onda armonica piana che si propaga nella direzione positiva x. Il mezzo entro cui avviene la propagazione è acqua di densità ρ. L’origine degli assi è locata sulla superficie piana dell’acqua (indisturbata).

Alla base di questa teoria vi sono 9 assunzioni che è necessario richiamare:

1. l’ampiezza A della superficie disturbata è molto piccola se confrontata con la lunghezza d’onda λ e la profondità d dal fondale;
2. la velocità del fronte (u²+w²)/2g è piccola se confrontata con la pressione idrostatica ρgz avendo indicato con u e w rispettivamente la velocità orizzontale e verticale della particella d’acqua;
3. la profondità dell’onda d è uniforme;
4. l’acqua non è viscosa ed irrotazionale;
5. l’acqua è incompressibile ed omogenea;
6. le forze di Coriolis dovute alla rotazione terrestre sono trascurabili;
7. la tensione superficiale è trascurabile;
8. il fondale marino è liscio ed impermeabile;
9. la pressione atmosferica al livello del mare è uniforme.

A proposito dell’ultimo punto si evidenzia che la pressione idrostatica è –ρgz mentre la pressione dinamica dell’acqua si indica con p.

Si rileva inoltre quanto segue:

• l’assunzione 1 implica la 2;
• l’assunzione 5 esclude i fenomeni acustici e di onde interne;
• l’assunzione 6 è valida se si escludono le grandi onde presenti negli oceani;
• l’assunzione 7 è valida sempre tranne che per lunghezze d’onda molto piccole.

Le restanti assunzioni, necessarie per rendere le equzioni governanti il problema trattabili in forma chiusa, sono un’approssimazione ragionevole per la maggior parte dei casi. Le relazioni che si ottengono dalla teoria lineare sono riassunte di seguito:

dove:

η = ordinata spettrale del profilo d’onda;

u = velocità orizzontale della particella d’acqua;

ω = velocità verticale della particella;

u’ = accelerazione orizzontale della particella;

ω’ = accelerazione verticale della particella;

ps = pressione idrostatica;

p = pressione dinamica;

c = celerità dell’onda;

cg = velocità di gruppo di un’onda.

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Si vuole evidenziare come le velocità delle particelle d’acqua, la celerità dell’onda e la velocità di gruppo di un’onda hanno significato differente. In particolare, la velocità di gruppo di un’onda è la velocità di propagazione nello spazio delle variazioni di forma ed ampiezza dell’onda.

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Per adesso è tutto, ci prendiamo una pausa per metabolizzare l’argomento e ci ridiamo appuntamento con le teorie non lineari.

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Come al solito, per chiarimenti, segnalazioni o altro potete scrivere al sottoscritto alla seguente e-mail:

ofs@hotmail.it

Ing. Onorio Francesco Salvatore