1. INTRODUZIONE AL PROBLEMA

Ci sono due aspetti fondamentali che caratterizzano la teoria lineare delle onde:

1. la superficie sinusoidale del profilo d’onda;
2. l’orbita circolare delle particelle di fluido.

Per capire meglio questi due aspetti ci possiamo riferire alla seguente immagine (tratta da: “Coastal Defense Systems I – Chapter 5” di Patrick Holmes, Professore all’Imperial College of England, Dipartimento di ingegneria civile).

Queste due caratteristiche non coesistono nella teoria non lineare.

Le più importanti tra tali teorie sono elencate di seguito:

1. teoria delle onde trocoidali;
2. teoria delle onde cnoidali;
3. teoria di Stokes;
4. teoria delle onde solitarie;
5. teorie numeriche.

–

–

2. TEORIA DELLE ONDE TROCOIDALI

Questa teoria viene fatta risalire a Gerstner (1802) e Rankine (1863) che la svilupparono indipendentemente in momento diversi.

Le tre caratteristiche principali della teoria trocoidale sono:

1. orbita circolare delle particelle;
2. fluido rotazionale;
3. profilo d’onda trocoidale.

Come detto in precedenza, le caratteristiche di orbita circolare e profilo sinusoidale non coesistono.

Si definisce fluido rotazionale un fluido in cui il moto delle particelle è di tipo rotazionale. In un moto rotazionale le particelle di fluido ruotano tutte attorno al proprio asse, in aggiunta ai movimenti della corrente; in un moto irrotazionale, al contrario, questo non avviene. Se seguiamo le posizioni assunte dal catarifrangente mentre la bicicletta è in moto avremo un profilo trocoidale. Per capire meglio quanto affermato ci si riferisca all’immagine che segue (tratta dal sito di Bonaventura de’Vidoch):

Questa teoria in passato era molto diffusa in quanto ci si concentrava maggiormente sul profilo trocoidale anziché sulla cinematica dei fluidi. In tempi più recenti, più o meno con l’avvento delle strutture offshore, si è posta maggiore attenzione sui cinematismi e la teoria trocoidale è oggi in disuso. L’importanza di questa teoria risiede nel fatto che essa funge da collegamento tra la teoria lineare e quella sviluppata da Stokes ed altri.

–

–

3. TEORIA DELLE ONDE CNOIDALI

Questa teoria è appropriata per le acque basse, ovvero onde di ampiezza molto limitata. L’equazione che le descrive è la seguente:

in cui m è un parametro che determina la forma dell’onda cnoidale. Per m uguale a zero l’onda cnoidale diviene una funzione coseno, mentre per valori vicino ad uno l’onda assume creste appuntite.

Un’altra caratteristica importante delle onde cnoidali risiede nel fatto che sono periodiche. Inoltre, per piccoli valori di H/d, dove H è l’altezza della cresta e d è la profondità dell’acqua, il profilo dell’onda cnoidale è sinusoidale.

L’impiego della teoria cnoidale è limitato a dei casi ben precisi, individuabili nel range:

0.01 ≤ H/d ≤ 0.78

e

λ/d < 8

Limitatamente a questo range, la teoria cnoidale descrive la progressione delle onde periodiche in maniera più accurata di quanto faccia la teoria delle onde di Stokes.

Un esempio che ho trovato molto esplicativo delle onde cnoidali è rappresentato dalla seguente immagine:

La forma delle onde visibile in queste immagini rappresenta bene un profilo cnoidale.

Una trattazione più approfondita dal punto di vista matematico è presente al seguente link:

“A presentation of cnoidal wave theory for pratical application” di R. L. Wiegel“

–

–

4. TEORIA DELLE ONDE DI STOKES

L’assunzione di base nello sviluppo delle teorie ad ampiezza finita risiede nella caratteristica di moto irrotazionale. L’assunzione può essere giustificata dal fatto che fisicamente la viscosità del fluido è molto piccola.

La trattazione matematica del problema ce la risparmiamo, da rozzi ingegneri “praticoni” quali siamo e vogliamo essere, rimandando alle numerose altre fonti l’approfondimento teorico. Passiamo, dunque, direttamente alle relazioni che discendono da questa teoria:

–

Se si confrontano le relazioni della teoria di Stokes con quelle della teoria lineare si nota che ogni termine al primo ordine corrisponde alla sua controparte data nella teoria lineare. I termini restanti sono la correzione al secondo ordine dovute alle non-linearità.

In teoria, se con la teoria di Stokes si arriva ad un ordine sufficientemente alto essa sarebbe adeguata a descrivere le onde per qualsiasi profondità marina. In reltà questo è possibile solo per onde in acqua profonda, perché nelle acque basse i termini convettivi divengono troppo grandi, la convergenza delle serie è lenta ed inaffidabile ed è richiesto un gran numero di termini per raggiungere un adeguato grado di accuratezza. Al contrario, altre formulazioni come quella cnoidale e la solitaria richiedono molti meno termini per raggiungere lo stesso grado di accuratezza.

A questo punto il lettore si starà chiedendo: come fare per stabilire quanto affidabile è la teoria di Stokes? Per rispondere a questa domanda ci viene in aiuto Ursell (1953) che definì un parametro (parametro di Ursell, per l’appunto) che consente di investigare la precisione della teoria comparando l’ampiezza dei termini al secondo ordine con quelli al primo ordine.

–

dove η0 è l’elevazione massima sopra il livello calmo dell’acqua. Quando il parametro di Ursell è molto piccolo allora la teoria lineare è valida. Ad ogni modo, anche se il parametro di Ursell costituisce un’utile guida, non è l’unica misura per determinare l’importanza dei termini nonlineari. Nelle acque basse, per esempio, l’ampiezza relativa H/d diviene un parametro più importante.

–

–

5. TEORIA DELLE ONDE SOLITARIE

Questo tipo di onde è caratterizzata dal fatto che si propagano senza cambiare la forma. A studiare questo tipo di onde fu John Scott Russel (1808-1882) che la notò nel 1834 dopo che fu generata da una barca nello Union Canal di Edinburgo. Si racconta che Russel seguì quell’onda che si manteneva quasi costante in altezza e velocità per quasi un miglio.

Le onde solitarie possono descriversi come onde di lunghezza infinita che si propagano in acqua di profondità uniforme. Il rapporto H/d si mantiene costante.

Nel 1845 Russel derivò la celerità per un’onda solitaria come:

c = radq[g (H+d)]

La pressione sul profilo è ovviamente pari alla pressione atmosferica, pa, e deve inoltre soddisfare la seguente equazione di Bernoulli:

p/ρ  ->  u c + 1/2 (u² + ω²) + g z = costante

–

–

6. TEORIE NUMERICHE DELLE ONDE

Con l’avvento dei computer ad alta velocità e con lo sviluppo della programmazione sono state formulate una serie di tecniche numeriche che divengono sempre più popolari. Tali teorie, che andrebbero in realtà chiamate procedure, si basano tutte sulle soluzioni deterministiche delle equazioni reggenti il problema. Ciò che le differenzia è il diverso trattamento delle condizioni al contorno ed i criteri usati per definire la precisione. Una delle teorie numeriche più popolari si basa sul fluido ideale (non viscoso) descritto dall’equazione di Laplace.

Una nota procedura è la seguente: il fluido è assunto essere non-viscoso, incompressibile, irrotazionale con il moto limitato al piano x,z. La velocità ed il potenziale di velocità possono essere espressi come:

Per quanto riguarda le condizioni al contorno, al livello del fondale si ha: z = -d, con quest’ultimo piatto, orizzontale ed impermeabile. Quindi:

Al livello della superficie libera, ovvero per z = η, le particelle rimangono sulla superficie, quindi:

Questa condizione è nota come condizione della superficie cinematicamente libera.

Inoltre, sempre per z = η, la pressione è uniforme. Questo implica che l’equazione di Bernoulli deve essere soddisfatta, quindi:

Se le onde si propagano senza cambiamenti di forma allora si può imporre un campo uniforme di velocità di magnitudo c. In tal caso le condizioni al contorno viste si riducono a:

Con quest’ultimo risultano, l’equazione di Bernoulli diviene:

–

–

–

A questo punto urge fare un punto della situazione:

• la descrizione trocoidale delle onde, la quale include la rotazione del fluido, veniva storicamente usata dagli ingegneri navali ma oggi non è molto amata dagli ingegneri strutturisti;
• la teoria approssimata di Stokes risulta pratica per descrivere onde corte di altezza finita, ma diviene impraticabile per onde lunghe;
• numerose altre teorie (cnoidale, solitaria, numeriche) sono state sviluppate per quest’ultimo caso;
• la teoria numerica è appropriata per onde di altezza finita in acque profonde, per onde asimmetriche e per le onde di acqua bassa per la quale l’applicazione della teoria lineare è spessa inappropriata.

–

–

–

Con questo e l’articolo precedente si chiude la descrizione, seppure breve, della teoria delle onde. Nel prossimo articolo verrà tracciato il dominio di validità delle varie teorie, cui faranno seguito alcuni esempi numerici.

–

–

Come al solito, per chiarimenti, segnalazioni o altro potete scrivere al sottoscritto alla seguente e-mail:

ofs@hotmail.it

Ing. Onorio Francesco Salvatore