La sezione offshore si arricchisce: giungiamo alle battute conclusive sulle teorie delle onde mettendo in gioco un po’ di numeri. I primi due articoli ci sono serviti a fare luce sulle teorie di base del problema delle onde, sebbene ci sia ancora molto da scrivere; essi sono:

• “Fenomeni ondosi su strutture offshore – teoria lineare delle onde (Teoria di Airy)“;
• “Fenomeni ondosi su strutture offshore – teorie non lineari (trocoidale, cnoidale, di Stokes, solitaria, numeriche)“.

Successivamente sono stati presentati i domini di validità di Dean e Le Mehaute:

• “Domini di validità delle teorie delle onde (domini di Dean e di Le Mehaute)“.

In questo quarto articolo sull’argomento si mette in pratica quanto detto e tali domini verranno usati per il calcolo delle grandezze fondamentali.

L’esempio riportato di seguito viene sviluppato passo-passo e alla fine è possibile trovare un foglio Excel con le formule già impostate in cui è possibile far variare i valori di ingresso per valutare le modifiche ai profili di velocità (ma attenzione alla compatibilità dei valori con la teoria lineare usata).

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PROBLEMA NUM. 1

Determinare le massime velocità orizzontale e verticale di una particella d’acqua ad una profondità di 3 m sotto la superficie d’acqua in un’onda che ha un periodo di 8 s, un’altezza di picco di 60 cm e che si propaga in acqua a profondità costante di 60 m.

Gli step da seguire sono i seguenti:

1.1 si deduce la teoria appropriata computando i parametri di ingresso per i domini di validità:

d/T² = 60/8² = 0.94 m/s²

H/T² = 0.6/8² = 0.009 m/s²

A questo punto dobbiamo entrare nel dominio di Le Mehaute, che abbiamo apprezzato per essere particolarmente comodo per i calcoli manuali (che preferiamo ai software “pallottolieri“). Il dominio fornito, però, usa il sistema inglese, quindi dobbiamo convertire le unità di misura.

Prendiamo il foglio messo a disposizione con l’articolo seguente:

“OFS – US to SI Converter: an Excel sheet for units conversions“

andiamo nella prima scheda “US to SI” per ottenere i seguenti valori:

d/T² = 197/8² = 3.1 ft/sec²

H/T² = 2/8² = 0.03 ft/sec²

A questo punto possiamo entrare nel dominio con i nuovi valori e ci accorgiamo che l’onda in questione ha le seguenti caratteristiche:

• è un’onda tipica delle acque profonde;
• si può studiare ricorrendo alla teoria lineare.

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1.2 Calcoliamo la lunghezza d’onda λ, il numero d’onda k e la frequenza angolare ω.

La lunghezza d’onda la ritroviamo nel calcolo della celerità, quando abbiamo discusso le grandezze fondamentali della teoria di Stokes (vedi articolo numero 2 sull’argomento). La celerità si esprime proprio come:

c= radq(g/k tanh kd)

Assumendo che:

tanh kd ≈ 1

si ha:

c = radq(g/k)

La celerità può anche essere espressa come:

c = λ / T

eguagliando:

radq(g/k) = λ / T

esplicitiamo λ:

λ = T radq(g/k)

dove:

k = 2π/λ

da cui:

λ = T radq[g λ/(2π)]

Da cui si ricava:

λ = T² g /(2π)

Sostituendo i valori otteniamo:

λ = 8² x 9.81 / (2π) = 100 m (328 ft)

a questo punto anche k è nota:

k = 2π / λ = 2π / 100 = 0.06 m^-1 (0.019 ft^-1)

Adesso possiamo calcolare u e w dalla teoria lineare:

u = π H / T cosh [k (d + z)] / senh (kd) cos (kx – ωt)

Noi vogliamo la velocità u,max. Questo valore è un massimo quando il termine coseno è +1, ovvero:

u,max = π H / T cosh [k (d + z)] / senh (kd)

Sostituendo i valori numerici per ottenere la massima velocità orizzontale si ha:

u,max = π 0.6 / 2 cosh [0.06 (60 + (-3))] / senh (0.06 x 60) = 0.1954 m/s

Per quanto riguarda la componente verticale:

w,max = π H / T senh [k (d + z)] / senh (kd)

Sostituendo i valori numerici per ottenere la massima velocità verticale si ha:

w,max = π 0.6 / 2 cosh [0.06 (60 + (-3))] / senh (0.06 x 60) = 0.1951 m/s

Si osserva che le velocità della particella d’acqua sono quasi identiche, laddove la differenza è dovuta all’errore di arrotondamento associato alle funzioni iperboliche. Inoltre, questi valori massimi non si verificano nello stesso istante.

I profili u,max e w,max possono essere generati facendo variare z da 0 a -60 m e l’intera storia del flusso d’onda può essere mappato variando x e t nelle funzioni trigonometriche per u e w.

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Come detto in apertura, vi metto a disposizione un foglio Excel con il quale potete variare i valori di ingresso e potete ricavare anche i profili d’onda a varie profondità rispetto alla superficie d’acqua. Il link è il seguente:

Esercizi offshore 1.xlsx

Esercizi offshore 1.xls

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Come potete notare dal nome del file, questo è solo il primo di una serie di esercizi che mi piacerebbe svolgere insieme ai lettori dell’Angolo dello Strutturista.

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Come al solito, per chiarimenti, segnalazioni o altro potete scrivere al sottoscritto alla seguente e-mail:

ofs@hotmail.it

Ing. Onorio Francesco Salvatore